课程名称

泛函分析

英文名称

A Course in Functional Analysis

课程编号

09_010001

学分

4

学时

72

课程类别

□公共学位课   □公共选修课   学科基础课   □专业主干课   □专业选修课

适用专业

数学、统计学

适用类别

□博士   硕士  □专业学位

开课学院

数学与信息科学学院

开课学期

每学年下半学期

主讲教师

王伟 高福根 等

职 称

副教授

联系方式

0373-3326148

辅讲教师

左红亮 杨长森 李海英等

职 称

教授

副教授等

联系方式

0373-3326148

考核方式

笔试    □课程论文   □实验设计   口试   其他：学术小报告

课程简介

泛函分析是数学专业重要的专业基础课之一，是20世纪初从变分法、微分方程、积分方程、函数论和量子物理等研究中发展起来的数学分支学科，它综合函数论、几何和代数的观点和方法研究解决数学中提出的重要问题。该课程是数学专业研究生课程中的核心课程，为学生进一步学习代数学、近代物理、从事数学和应用数学研究打下坚实基础。

教学目的

泛函分析是从事现代数学研究与实际应用必备的基础课，它是空间的拓扑结构与代数结构的有机结合，通过这门课的教学，使研究生能够掌握赋范线性空间，有界线性算子，Hilbert空间和Banach空间的基本概念和理论等基础知识，更重要的是掌握它的抽象思维和逻辑推理方法，提高研究生对数学分析、拓扑学和代数学等知识的综合运用能力，为进一步学习其它方向课奠定必备的基础。

教学内容、学时分配和教学要求

第一章    线性赋范空间（16学时）

§1（3学时）线性空间与度量空间

§2（5学时）经典的赋范空间

§3（2学时）完备性与Baire纲定理

§4（4学时）紧性与有限维空间

§5（2学时）积空间与商空间

本章要点：强调与数学分析和线性代数之间的联系与区别；强调几何直观；不动点定理。

第二章    线性算子与线性泛函（18学时）

§1（1学时）线性算子的概念

§2（2学时）Riesz定理及其应用

§3（5学时）开映象定理与闭图像定理

§4（5学时）Hahn-Banach定理

§5（5学时）凸集的隔离性定理

本章要点：Hahn-Banach保范延拓定理、一致有界原理、逆算子定理、开映射定理、闭图象定理。

第三章共轭空间与共轭算子（15学时）

§1（4学时）共轭空间及其表现

§2（2学时）W-收敛与W*-收敛

§3（4学时）共轭算子

§4（5学时）自反空间与一致凸空间

本章要点：共轭算子、自反空间与一致凸空间的相关性质。

第四章  紧算子与Fredholm算子（9学时）

§1（2学时）紧算子的定义和基本性质

§2（2学时）Riesz-Fredholm理论

§3（2学时）Hilbert-Schmidt定理

§4（1学时）对椭圆型方程的应用

§5（2学时）Fredholm算子

本章要点：Riesz-Fredholm理论；通过Fredholm方程经典处理与本章中处理方法的比较，体现泛函分析的广泛应用。

第五章  Hilbert空间几何学（6学时）

§1（2学时）正交集与正交基

§2（2学时）正交投影

§3（2学时）共轭算子与一.五线性泛函

本章要点：正交投影及里斯表示定理。

第六章  有界线性算子谱理论（8学时）

§1（2学时）逆算子与谱

§2（2学时）紧算子的谱理论

§3（2学时）自共轭算子的谱理论

§4（2学时）谱系与谱分解

本章要点：紧算子和自共轭算子的谱分解。

预修课程或预备知识

学习本课程需具备较扎实的数学分析和线性代数基础，并对实变函数和拓扑学有初步的了解。

教材

张恭庆，林源渠著， 《泛函分析讲义》，北京大学出版社，1987.

主要参考文献（书籍、期刊和网站）

1．夏道行，吴卓人，严绍宗，舒五昌 编著，《实变函数论与泛函分析》下册，高等教育出版社，2010.

2.刘培德 编著，《泛函分析基础》，武汉大学出版社，2002.

3.江泽坚，孙善利 编著，《泛函分析》，高等教育出版社，2004.

4.王声望，郑维行 编著， 《实变函数与泛函分析概要》，高等教育出版社，2004.

5．J. B. Conway,  A course in functional analysis, Springer-Verlag, 1990.

6．W. Rudin, Functional analysis, McGraw-Hill, New York,1973.